Por que Pi vale 3.1416

El valor absoluto de π = 3.1415926535897932384626433832795....

El primer cálculo teórico parece haber sido llevado a cabo por Arquímedes sabía, cosa que hoy desconoce mucha gente, que π no es igual a 22 / 7, y no hizo ninguna afirmación de haber descubierto el valor exacto. Si tomamos su mejor aproximación como la media de estos dos límites obtenemos 3,1418, un error de aproximadamente 0,0002.

Considera un círculo de radio 1, en el cual inscribimos un polígono regular de 3 x 2n-1 lados, con un semiperímetro bn, y superponemos un polígono regular de 3 x 2n-1 lados, con un semiperímetro de an.

Usando notación trigonométrica, vemos que los dos semiperímetros vienen dados por an = K tan( π / K ), bn = K sin( π / K ), donde K = 3 x 2n-1. Igualmente tenemos que an+1 = 2K tan( π / 2K), bn+1 = 2K sin( π / 2K), y no es un complejo ejercicio de trigonometría demostrar que:
(1 / an + 1 / bn ) = 2 / an+1 . . . (1)
an+1 bn = (bn+1 )2 . . . (2)
Arquímedes, comenzando desde a1 = 3 tan( π / 3 ) = 3√3 and b1 = 3 sin( π / 3 ) = 3√3/2, calculó a2 usando (1), luego b2 usando (2), a3 usando (1), b3 usando (2), y de esta forma hasta que calculó a6 y b6. Su conclusión fue que b6 < π < a6 .

Es importante darse cuenta de que el uso de la trigonometría aquí no es histórico: Arquímedes no tenía las ventajas de una notación algebraica y trigonométrica y tuvo que derivar (1) y (2) de forma puramente geométrica. Además no tuvo siquiera la ventaja de nuestra notación decimal para los números, por lo que el cálculo de a6 y b6 a partir de (1) y (2) no fue de ninguna forma una tarea trivial. Por tanto fue una fabulosa proeza de imaginación y cálculo y la maravilla no es que parase en polígonos de 96 lados, sino que fue más lejos.

Se puede obtener mediante diferentes formas, generalmente son series, la más sencilla mediante una aproximación en series de Taylor, si π = 4*arctan(1)
Se desarrolla la serie alrededor del punto x = 1 de arctan(x), su representación se reemplaza en:
π = 4*arctan(1) ,

π = 4*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + 1/17 - ...)

los números cada vez son más pequeños por lo que sumar y restar esos números no son significativos, entonces la operación se detiene hasta tener una aproximación aceptable, de ahí que se represente como:

3.14
3.1416
3.141593
3.1415926535897932384626433832795....